The Arithmetic Site Le Site Arithmétique

We show that the non-commutative geometric approach to the Riemann zeta function has an algebraic geometric incarnation: the “Arithmetic Site”. This site involves the tropical semiring N̄ viewed as a sheaf on the topos N̂× dual to the multiplicative semigroup of positive integers. We realize the Frobenius correspondences in the square of the “Arithmetic Site”. Résumé Le “Site Arithmétique” est l’incarnation en géométrie algébrique de l’espace non-commutatif, de nature adélique, qui permet d’obtenir la fonction zêta de Riemann comme fonction de dénombrement de Hasse-Weil. Ce site est construit à partir du semi-anneau tropical N̄ vu comme un faisceau sur le topos N̂× dual du semigroupe multiplicatif des entiers positifs. Nous réalisons les correspondances de Frobenius dans le carré du “Site Arithmétique”.